Les
fonctions de Pearson ont été crées pour représenter des
distributions unimodales. Il en existe douze. Elles ont été inventées par
Karl Pearson à la fin du
XIXe siècle et au début du
XXe siècle.
Pearson IV
La densité de probabilité ƒ, pour
x réel, vaut :
où
- m, ν, a et λ sont des réels ;
- m > 1/2 ;
- k est un facteur de normalisation.
La fonction est invariante si l'on change simultanément le signe de
a et de ν, on prend donc par convention
- a > 0.
Si
m ≤ 1/2, la fonction n'est pas normalisable.
La fonction de Pearson IV est en fait une version asymétrique de la Loi de Student ; de fait, on retrouve la loi de Student avec 2m-1 degrés de liberté pour ν = 0.
Pour m = 1, la distribution de Pearson IV est une forme asymétrique de la distribution de Cauchy (ou distribution de Breit-Wigner).
La fonction a un mode (sommet) unique placé en
elle présente deux points d'inflexion situés en
| x i + / - = x m ± | a
–––––
2 m | √
| –––––––––––––––––––––––––
(4m 2 + ν 2 )/(2m+1)
|
.
Sa moyenne vaut
pour m > 1
en posant
- r = 2(m - 1).
La moyenne est infinie si ν = 0 et
m ≤ 1.
Sa Variance vaut
| μ 2 = | a 2
–––––––––––
r 2 (r-1) | (r 2 + ν 2 ) |
pour m > 3/2.
La variance est infinie si m ≤ 3/2.
Le facteur de normalisation vaut :
| k = | 2 2 m - 2 | Γ (m + i ν /2) | 2
–––––––––––––––––––––––––––––––––––
π a Γ (r) |
où Γ est la fonction Gamma d'Euler.
Pearson VII
La VII
e fonction de Pearson est définie, pour
x entier, par
| f = | 1
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
M |
où M est le paramètre de forme, ou « largeur de Pearson ».
On écrit parfois une expression simplifiée :
On a
- M < 1 : distribution dit super lorentzien ; * M = 1 : distribution de Cauchy : Lorentz (lorentzienne) : Breit-Wigner ; * M = ∞ : distribution de Gauss-Laplace (gaussienne, loi normale). Elle est utiilsée en radiocristallographie pour modéliser le profil des pics de diffraction (voir aussi Fonction de Voigt). == Voir aussi == === Bibliographie === * Karl Pearson, Contributions to the Mathematical Theory of Evolution.—II. Skew Variation in Homogeneous Material, Philosophical Transactions of the Royal Society of London A, 186, (1895), page 343. * Karl Pearson, Mathematical Contributions to the Theory of Evolution.—X. Supplement to a Memoir on Skew Variation, Philosophical Transactions of the Royal Society of London A, 197, (1901), page 443. * Karl Pearson, Mathematical Contributions to the Theory of Evolution.—XIX. Second Supplement to a Memoir on Skew Variation, Philosophical Transactions of the Royal Society of London A, 216, (1916), page 429. === Liens externes === * (en) A Guide to the Pearson Type IV Distribution, Joel Heinrich, University of Pennsylvania, 2004